« En cheminant avec Kakeya », Prix Tangente du livre 2015

En cheminant avec Kakeya, voyage au cœur des mathématiques, ENS Editions

Un livre réalisé avec le soutien du Labex Milyon, du CNRS Rhône-Auvergne et de l’Institut Camille Jordan.

Voyage en terre mathématique…

En décembre 2015, les Trophées Tangente décernaient le prix du Livre 2015 à un ouvrage resté trop longtemps méconnu : « En cheminant avec Kakeya, voyage au cœur des mathématiques », co-écrit par le mathématicien Vincent Borrelli et le professeur de mathématiques Jean-Luc Rullière. Remettant ainsi sur le devant de la scène scientifique et médiatique un livre sur le calcul différentiel, édité pour la première fois en 2011 par ENS Editions, en version numérique.

Disponible en téléchargement gratuit, une volonté inébranlable des auteurs, cet ouvrage est destiné au grand public et aux élèves à partir de la classe de première. Excellent outil pédagogique salué par la critique, il expose de manière narrative et illustrée l’une des plus simples et pourtant l’une des grandes questions des mathématiques : la conjecture de Kakeya. Celle-ci mobilise l’attention des mathématiciens durant des siècles. Un thème choisi comme fil conducteur du livre par les auteurs pour sa richesse et son caractère visuel et simple à énoncer. Dix ans de travail plus tard, huit chapitres retracent un siècle de résultats obtenus sur la question et ouvre des perspectives.

Coup de projecteur sur cet « ovni » littéraire qui permet à tous de comprendre la difficile notion du calcul différentiel. Aux antipodes de la chronologie historique ou du manuel scolaire, il présente une approche inédite de la diffusion mathématique.

 

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Jean-Luc Rullière et Vincent Borrelli au Palais du Luxembourg lors de la remise des prix le 9 décembre 2015.

> Télécharger le pdf du livre (gratuit)

Mais quelle est cette question centenaire, en apparence anodine, et si « irritante » ?

Tout commence en 1917. Soichi Kakeya (1886–1947), mathématicien japonais, s’interroge :

Quelle est la plus petite surface à l’intérieure de laquelle il est possible de retourner une aiguille ?

Il s’agit alors pour un mathématicien de trouver la figure ayant la plus petite aire à l’intérieur de laquelle un segment de droite (une aiguille) peut être déplacée de manière à effectuer un demi-tour ? Un problème fondamental de l’histoire qui mène aux mathématiques contemporaines.

Cette petite question est aussi lourde de conséquences, tissant des liens avec d’autres disciplines et d’autres découvertes, comme le lien entre la question géométrique de Kakeya et la théorie des nombres.

Qu’apprenons-nous ?

La première partie de l’ouvrage est consacrée à la recherche de figures de plus en plus petites qui autorisent le retournement de la fameuse aiguille. À l’aide de dessins aux formes artistiques et aux noms curieux : triangle de Reuleaux, deltoïde, étoile courbe… le lecteur peut avec les auteurs tester et mettre ces formes à l’épreuve de la réduction, se transformant par exemple en « triangles anorexiques » comme les nomme Vincent Borrelli au micro de Sophie Joubert interviewé dans l’émission « Autour de la question » sur RFI.

Sur ce chemin des formes géométriques, les lecteurs auront aussi le loisir de rencontrer d’autres illustres personnages : Archimède, Newton, Leibniz et Maria Agnesi ou des personnages scientifiques plus contemporains comme Szemerédi et Tao.

La deuxième partie du livre conduit vers d’autres perspectives, envisageant l’étude d’autres objets mathématiques de type « fractals » comme réponse à la question. C’est la conjecture de Kakeya.

Enfin, les auteurs font une 3ème et dernière étape avant d’achever leur voyage en abordant les nombres premiers. Ils exposent les grandes lignes d’un théorème de Jean Bourgain (1999), résultat le plus avancé quant à la conjecture de Kakeya à ce jour. Les objets particuliers illustrés à ce stade sont : une double bulle, une trajectoire de billard ou encore une construction géométrique en « arbre ».

À travers la question de Kakeya, le livre nous apprend également la géométrie algébrique, le calcul différentiel, le calcul intégral et même la géométrie fractale ou les surfaces d’aire nulle.

10 ans d’écriture : toute une histoire

Ce livre est d’abord une histoire d’amitié. Deux camarades sur les bancs de la Fac se penchent sur la question de Kakeya avec une idée bien précise en tête : l’expliciter au plus grand nombre. L’écriture débute en 1993. Dix ans plus tard, à raison d’une après-midi de travail par semaine, « En cheminant avec Kakeya, voyage au cœur des mathématiques » était né. Il fallait maintenant convaincre un éditeur qui accepte l’édition numérique gratuite pour les lecteurs. Car l’accessibilité était un autre point d’honneur sur lequel les auteurs ne transigeaient pas. Et c’est la raison pour laquelle ils remercient ENS Editions qui les a suivi dans l’aventure en 2011. Une aventure prometteuse puisqu’ils comptabilisèrent 3000 téléchargements en un an.

La force du livre : un genre nouveau appliqué au livre scientifique, le storytelling

Le livre fait le pari d’une véritable histoire, divertissante. Son succès repose sur l’utilisation de méthodes traditionnellement utilisées dans les romans, où les personnages, réels ici, vivent des aventures rythmées de rebondissements. Exit le jargon scientifique et le cours magistral. Les longues formules laissent place aux dessins colorés. Les logiques des démonstrations sont expliquées par contre-exemple pour faciliter la compréhension.
Des dessins simples, des courts points explicatifs et des brefs rappels historiques ponctuent la lecture pour une vision globale.
Les « experts » ne sont pas en reste. Les auteurs ont semé au cours du texte des encarts au contenu plus technique.

L’ouvrage est avant tout pédagogique. Il permet non seulement de s’initier au calcul différentiel facilement mais aussi de comprendre tout le cheminement du raisonnement scientifique. Il met en lumière le travail même de chercheur.

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Jean-Luc Rullière, a fait ses études et a était professeur de mathématiques en lycées dans l’agglomération lyonnaise avant d’exercer en Espagne dans le cadre de l’Agence d’enseignement français à l’étranger (AEFE), au lycée français de Bilbao, puis en Allemagne, au lycée français de Berlin, où il est actuellement en poste.

Vincent Borrelli

Vincent Borrelli est Maître de conférences à l’Institut Camille Jordan (Université Claude Bernard Lyon 1) spécialisé dans la géométrie différentielle. Il a cofondé la MMI (Maison des Mathématiques et de l’Informatique), dont il a été directeur jusqu’en 2014.

Podcast

Retrouvez l’interview des auteurs en Podcast sur RFI ici. Émission « Autour de la question » animée par Sophie Joubert diffusée le vendredi 4 mars.

Ils en parlent…

Article Le mystère de l’aiguille de Kakeya

Le Monde Science et Techno | 11.01.2016 | Par David Larousserie

« Comment a-t-on pu passer à côté de ce livre ? Telle est la question que se pose le rédacteur estomaqué par la qualité de ce qui, par un hasard heureux, a fini par lui tomber entre les mains.

Merci donc au magazine Tangente d’avoir attribué son Prix du meilleur livre, décerné le 9 décembre, à ce « vieil » ouvrage paru en 2014. »

En savoir plus

Pour en savoir plus sur « La conjecture de Kakeya »

  • La conjecture de Kakeya – Revue « Mathématiquement vôtre » N°13 Avril-Juin 2013, pages 84 à 88. Article sur l’élaboration du livre.