Théorie des Modèles, Équations différentielles et aux différences et Applications

7 au 10 avril 2015

Au  CIRM à Luminy (13)

Cette rencontre avait pour but de présenter des progrès récents en théorie des modèles et en équations différentiels et aux différences, ainsi que l’interaction des deux disciplines et des applications possibles.

Un exemple notable de cette interaction était présent aux exposés de Bertrand et Pillay, avec leur étude des groupes de Galois associés à une équation différentielle logarithmique, où le noyau de Manin, objet fortement étudié en théorie des modèles, joue un rôle fondamental. La théorie de Galois différentielle et aux différences était également l’objet de l’exposé d’Umemura sur les équations de Picard-Vessiot quantisées ainsi que dans l’exposé de Nishioka sur la transcendance de certaines solutions aux équations différentielles. L’étude modèle théorique  de la géométrie de l’ensemble des solutions de l’équation de Painlevé (dans un corps différentiellement clos) permet à Nagloo d’affirmer des propriétés fortes de transcendance des solutions distinctes. Le théoricien des modèles Freitag a repris la construction des variétés de Chow pour l’adapter au cas différentiel.

Pour ce qui est des équations aux différences, plusieurs exposés du colloque ont présenté des nouveaux résultats qui relient des différents thèmes de la rencontre : Krieger étudie la structure de l’ensemble de Mandelbrot et discute des analogues en dynamique algébrique de la conjecture d’André-Oort pour les variétés de Shimura ; Medvedev expose ses résultats sur certaines classes de groupes définissables dans les corps aux différences existentiellement clos ; Moosa étudie la théorie des (versions non-standard des) variétés compactes complexes munies d’un automorphisme générique et Wibmer présente son résultat de décomposition pour les groupes algébriques aux différences étales.

Des applications remarquables de la théorie des modèles à la géométrie algébrique ont été présentées dans l’exposé de Bouscaren sur le passage de Manin-Mumford à Mordell-Lang en characteristique positive ainsi que dans l’exposé de Loeser sur l’intégration motivique et la formule des traces.

La théorie des modèles pures et ses développements récents étaient également une partie fondamentale de la rencontre, comme témoigné avant tout dans l’exposé de Chernikov sur de vastes généralisations du principe de régularité de Szemeredi pour les graphes définissables dans une théorie distale. Cet exposé a d’ailleurs été choisi par les organisateurs pour figurer dans la bibliothèque audiovisuelle mathématique.

Dans l’exposé de Macintyre sur l’interprétation de l’arithmetique dans certains quotients de modèles de l’arithmétique de Peano par des idéaux principaux (non-standards), ainsi que dans celui de Montenegro sur la théorie des modèles de corps pseudo-réellement clos, on pouvait voir des interactions fortes entre le monde de l’algèbre et celui de la néostabilité en théorie des modèles. Dans le même ordre d’idée, citons aussi l’exposé de Point sur certains corps différentiels valués et celui de van den Dries sur la théorie des modèles des transséries, un projet qu’il a mené au bout après plus de 10 ans de travail en collaboration avec Aschenbrenner et van der Hoeven.

Mardi 7 avril fut organisée une séance de posters, ce qui a permis à cinq doctorants et postdoctorants de présenter leurs résultats dans une rencontre internationale, pour se faire connaître au sein de la communauté.

Un grand nombre de jeunes participants (doctorants et post-doctorabts) à la rencontre, venant de pays très divers comme le Canada, la Colombie, les États-Unis, Israël, le Japon et la Russie, étaient présents.

Comité d’organisation

Comité scientifique

Conférenciers invités

Nombre des participants : 72liste

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Site de la conférence : http://scientific-events.weebly.com/1194.html