Symétrie miroir pour les espaces homogènes

Clelia Pech

Ancienne Post-doctorante – Université Claude Bernard Lyon 1 – ICJ

→ du 01/10/2014 au 30/09/2016

Résumé : Les espaces homogènes sont des variétés algébriques munies d’une action transitive d’un groupe algébrique semi-simple. Ces variétés sont classées à l’aide d’une description combinatoire basée sur les diagrammes de Dynkin. L’espace projectif, les grassmanniennes et les variétés de drapeaux sont des exemples classiques d’espaces homogènes.
La cohomologie des espaces homogènes est étudiée depuis le 19e siècle sous le nom de calcul de Schubert, et est reliée à la théorie des représentations et à celle des polynômes symétriques. Plus récemment, dans les années 1990, Witten a introduit une déformation de la cohomologie usuelle, appelée la cohomologie quantique, et l’étude du « calcul de Schubert quantique » pour les espaces homogènes est actuellement en plein essor.
Mes travaux actuels sont consacrés à l’étude d’un autre concept provenant de la physique théorique : la symétrie miroir, dans le cas des espaces homogènes. En mathématiques, la symétrie miroir relie la cohomologie quantique de certaines variétés algébriques à la théorie des singularités de son miroir, appelé « modèle de Landau-Ginzburg ».
J’expliquerai comment construire, pour une classe particulière d’espaces homogènes dit « cominuscules », des modèles de Landau-Ginzburg exprimés dans des coordonnées naturelles en bijection avec les classes de Schubert de ces variétés, et je donnerai quelques conséquences de mes résultats.

Mots-clés : symétrie miroir, espaces homognes, théorie de Gromov-Witten, cohomologie quantique, modles de Landau-Ginzburg

 

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