École d’hiver « Espaces nonlinéaires de fonctions en mathématiques et physique »

Du 14 au 18 décembre 2015
à l’Université Claude Bernard Lyon 1

Dans le cadre du semestre Analyse

Version 2

Les applications à valeurs dans des variétés interviennent dans la science des matériaux (cristaux liquides, supraconductivité), physique (théories de jauge) et mathématiques (applications harmoniques). L’école d’hiver propose cinq cours dispensés par des experts reconnus à l’intention des étudiants de masters, des doctorants, et de chercheurs. Le programme va d’un cours introductif sur les outils de base dans l’étude des espaces nonlinéaires à des résultats très récents sur le problème de la densité faible.

Il permet aux jeunes participants d’avoir une vision générale du domaine, et à tous les participants l’occasion de discuter des perspectives de recherche dans les thèmes abordés.

Comité d’organisation

  • Pierre Bousquet (Toulouse 3)
  • Petru Mironescu (ICJ, Lyon 1)
  • Jean Van Schaftingen (Louvain-le-Neuve)
  • Nadine Badr (ICJ, Lyon 1)

Conférenciers

> Liste des 88 participants

Programme

 

Résumés, cours et bilans

Espaces de fonctions pour les cristaux liquides
/ Function spaces for liquid crystals
John Ball

In models of liquid crystals, the description of defects depends on the choice of order parameter. For a low-dimensional order parameter such as the director (describing the mean orientation of the constituent rod-like molecules) defects may be described by mathematical singularities in the order parameter; however, in the corresponding Oseen-Frank theory some of these singularities have infinite energy. For a higher-dimensional order parameter such as the de Gennes Q-tensor, defects can have internal structure and may not be actual singularities. The course will discuss some of the issues surrounding the choice of order parameters and corresponding function spaces, and how they influence the description of defects, drawing on lessons from solid mechanics. Usually only point and line defects are considered, but the course will also consider the possibility of surface defects and their potential relevance for nematic elastomers, order reconstruction and smectic thin films.

  1. Support de cours

Le cours a porté sur la description des défauts dans les différents modèles de cristaux
liquides. J. Ball a présenté les modèles les plus importants (Oseen–Frank, Ericksen,
Landau–de Gennes) avec leurs qualités et la problématique associée. À partir des théories
qu’il a développées en mécanique des solides (non interpénétrabilité de la matière,
etc.), il a expliqué la modélisation sousjacente, et les résultats pertinents à attendre (en
particulier sur les défauts surfaciques, les films smectiques fin et la reconstruction de
l’ordre). Puis a fait un survol des progrès théoriques obtenus par son équipe OxPDE à
Oxford. Le tout a donné un cours captivant donnant des directions de recherche importantes aux participants.

 


 

Espaces de Sobolev entre variétés et transport branché
Sobolev maps between manifolds and branched transportation
Fabrice Bethuel

abstract_bethuel_nfs2015.pdf

  1. Support de cours #1
  2. Support de cours #2
  3. Support de cours #3
  4. Support de cours #4

Le but du cours a été de présenter des éléments de preuve d’un remarquable résultat
récent de F. Bethuel : il existe des fonctions u ∈ W¹,³(B4; S²) qui ne sont pas de limites
faibles de fonctions C∞ (B¯4; S²). La preuve du résultat contraire était un sujet actif de recherche, motivé par le fait qu’il ne peut pas y avoir d’exemple analogue dans les espaces
W¹,¹ ou W¹,². Le cours a été une promenade très pédagogique dans la topologie algébrique élémentaire, le transport branché et les techniques d’analyse liées aux espaces de Sobolev sur les variétés, culminant avec la preuve du résultat énoncé plus haut. Un point sur les perspectives de recherche a mis en évidence un important chantier ouvert pas ce résultat.

 


 

Espaces de chaînes et cochaînes dièses et normales
/ Spaces of Flat and Normal Chains and Cochains
Robert Hardt

Various classes of chains and cochains may reveal geometric as well as topological properties of metric spaces. In 1957, Whitney introduced the geometric « flat norm » on polyhedral chains in Euclidean space and then realized flat chains as the flat norm completion of polyhedral chains.  Flat cochains were members of  the topological dual space. Federer and Fleming also considered these in the sixties in connection with mass-minimization among chains with a given boundary or cycles in a given homology class. Their work used a regularity property of the spaces, that they be Euclidean Lipschitz neighborhood retracts. These spaces include smooth manifolds and polyhedra, but not algebraic varieties or subspaces of some Banach spaces. In works with Thierry De Pauw and Washek Pfeffer, we find generalizations and alternate variational topologies for classes of flat chains and cochains in general metric spaces. With these, we homologically characterize Lipschitz path connectedness and obtain several facts about and examples of singular metric spaces that satisfy local linear isoperimetric inequalities. For example there is a topological duality between normal chain homology (involving chains of finite mass and boundary mass) and « charge » cohomology. We may compare this with the flat duality of Federer for general flat chains and cochains. In Euclidean space, charges are, by De Pauw, Pfeffer, Moonens, cochains that may be represented as the sum of a continuous form and the exterior derivative of a continuous form. This contrasts with the older Wolfe’s theorem that a general flat cochain corresponds to bounded measurable forms or recent  theorems of Snipes for partial forms or of Petit, Rajala, Wenger for weakly differentiable cochains and Sobolev forms.

  1. Lecture

Le but du cours était de présenter des travaux récents de R. Hardt en collaboration avec
T. De Pauw etW. Pfeffer. R. Hardt a commencé par présenter les bases de la théorie géométrique de la mesure : l’introduction de la norme dièse par H. Whitney en 1957, puis
les problèmes de minimisation à cycle ou bord donné (Federer, Fleming dans les années
60). Cette proménade dans le livre de Federer (très profitable au novices) a permis de
dégager les techniques de base (méthodes de projection, réduction dimensionnelle) et
aussi de montrer les limites de ces techniques (l’espaces ambiant doit avoir une propriété
de retract absolu qui interdit certains ensembles semi-algébriques). Puis il est passé aux progrès récents, et montrer des exemples d’ensembles pathologiques pour la théorie de Federer et Fleming qui supportent néanmoins une theórie convenable, en partir en satisfaisant des inégalités isopérimétriques locales linéaires. Le cours a été complété par un panorama des problèmes de recherche actuels dans ce domaine.

 


 

Espaces de Sobolev spaces à valeurs variétés : une boîte à outils
/ Sobolev spaces into manifolds: a toolbox
Augusto Ponce

Sobolev maps with values into manifolds can be defined in two non-equivalent ways: as Sobolev functions whose target is a manifold or by completion of smooth maps under the Sobolev norm. We explain why these approaches may lead to different objects, depending on the topology of the target.
In some cases involving spheres, the obstruction can be detected using an elegant tool: the distributional Jacobian that quantifies the strength of topological singularities of a Sobolev map. The course will be devoted to explaining some classical tools to investigate these questions.

  1. Support de cours

C’était le cours introductif, très apprécié par les étudiants et les doctorants. En se basant
sur une approche originale (parallèle avec le théorème H=W de Meyers et Serrin), A. Ponce a examiné les définitions possibles des espaces de Sobolev, expliqué pourquoi
elles n’étaient pas équivalentes dans le cas des espaces à valeurs variétés, et posé les
questions pertinentes. Puis a montré un théorème important de densité de Bethuel par
une méthode récente (de P. Bousquet, A. Ponce et J. Van Schaftingen), ce qui au passage
lui a permis de présenter les techniques les plus importantes adaptées à ce contexte.

 


 

Les variations du Lagrangien de Yang-Mills
/ The variations of Yang-Mills Lagrangian
Tristan Rivière

Yang-Mills theory is growing at the interface between high energy physics and mathematics. It is well known that Yang-Mills theory and Gauge theory in general had a profound impact on the development of modern differential and algebraic geometry. One could quote Donaldson invariants in four dimensional differential topology, Hitchin Kobayashi conjecture relating holomorphic bundles over Kähler manifolds and Mumford stability in complex geometry or also Gromov Witten invariants in symplectic geometry…etc. While the influence of Gauge theory in geometry is quite notorious, one tends sometimes to forget that Yang-Mills theory has been also at the origin of fundamental progresses in the non-linear analysis of Partial Differential Equations in the last decades.

The purpose of this mini-course is to present  the variations of this important lagrangian. We shall raise analysis questions such as existence and regularity of Yang-Mills minimizers or critical point of Yang-mills lagrangian in general. We will first describe during the first half of the course the progresses which have been made in these directions for the critical dimension 4 and below. At this occasion we will mostly insist on the important contributions by K.Uhlenbeck from the late seventies – early eighties. The second part of the mini-course will be devoted to the study of Yang-Mills fields in dimension larger than 4. We will first describe the Lin-Tian concentration compactness method in super critical dimension as well as the epsilon-regularity results obtained by Tao-Tian and Meyer-Rivière.

In the last part of the course we shall present very recent results obtained in collaboration with M. Petrache regarding the ad-hoc framework for producing Yang-Mills minimizers in dimension larger than 4.

The following notes issued from a mini-course given by the author on the subject at the 9th summer school in Differential Geometry at the Korean Institute for Advanced Studies between june 23rd and june 27th 2014 can serve as a guide for audience.

  1. Lecture notes

Dans un premier temps, T. Rivière a expliqué l’importance des théories de Yang-Mills en
géométrie et en physique mathématique. Puis il en a présenté le cadre mathématique.
L’essentiel du cours a consisté a montré le résultat de régularité en dimension 4 de K. Uhlenbeck (qui est la dimension critique). La deuxième partie du cours a présenté des
résultats récents de M. Petrache et T. Rivière, en dimension ≥ 5. La technicité de ces
derniers résultats n’a pas permis de donner plus que des idées de preuve. Néanmoins,
les participants ont pu avoir une idée claire des enjeux et des perspectives. 

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Ils en parlent :

  • CNRS Hebdo – Édition du 22.10.2015