De la phase de résolution des méthodes directes pour systèmes linéaires creux avec multiples seconds membres creux

La thèse - document
Cette thèse se concentre sur la résolution de systèmes linéaires creux dans le contexte d’applications massivement parallèles. Ce type de problèmes s’exprime sous la forme AX=B, où A est une matrice creuse d’ordre n x n, i.e. qui possède un nombre d’entrées nulles suffisamment élevé pour pouvoir être exploité, et B et X sont respectivement la matrice de seconds membres et la matrice de solution de taille n x nrhs. Cette résolution par des méthodes dites directes est effectuée grâce à une étape de factorisation qui réduit A en deux matrices triangulaires inférieure et supérieure L et U, suivie de deux résolutions triangulaires pour calculer la solution. Nous nous intéressons à ces résolutions avec une attention particulière apportée à la première, LY=B. Dans beaucoup d’applications, B possède un grand nombre de colonnes (nrhs >> 1) transformant la phase de résolution en un goulot d’étranglement. Elle possède souvent aussi une structure creuse, donnant l’opportunité de réduire la complexité de cette étape. Cette étude aborde sous des angles complémentaires la résolution triangulaire de systèmes linéaires avec seconds membres multiples et creux. Nous étudions dans un premier temps la complexité asymptotique de cette étape dans différents contextes (2D, 3D, facteurs compressés ou non). Nous considérons ensuite l’exploitation de cette structure et présentons de nouvelles approches s’appuyant sur une modélisation du problème par des graphes qui permettent d’atteindre efficacement le nombre minimal d’opérations. Enfin, nous donnons une interprétation concrète de son exploitation sur une application d’électromagnétisme pour la géophysique. Nous adaptons aussi des algorithmes parallèles aux spécificités de la phase de résolution. Nous concluons en combinant l'ensemble des résultats précédents et en discutant des perspectives de ce travail.