Morphismes de périodes et cohomologie syntomique

La thèse

Dans un travail récent, Colmez et Niziol ont prouvé un théorème de comparaison entre les cycles proches p-adiques arithmétiques et la cohomologie des faisceaux syntomiques. Ils ont pour cela donné une construction locale utilisant des (\phi, \Gamma)-modules qui permet de réduire l’isomorphisme de période à un théorème de comparaison entre des algèbres de Lie. Dans cette thèse, on commence par donner la version géométrique de cette construction. On construit ensuite à partir de cette application locale un isomorphisme de période global. Le morphisme de période obtenu est utile pour décrire la cohomologie étale d’espaces analytiques rigides. On peut notamment en déduire la conjecture semi-stable de Fontaine- Jannsen qui relie la cohomologie étale de la variété analytique rigide associée à un schéma formel semi-stable propre à sa cohomologie de Hyodo-Kato. Ce résultat a également été prouvé par (entre autres) Tsuji, via l’application de Fontaine-Messing, et par Cesnavicius et Koshikawa, qui généralisent la preuve de la conjecture cristalline de Bhatt, Morrow et Scholze. Dans la deuxième partie de la thèse, on utilise l’application construite précédemment pour montrer que les morphismes de période de Tsuji et de Cesnavicius-Koshikawa sont égaux.