Thèse soutenue
Publié le 15 mai 2019 | Mis à jour le 15 mai 2019

Propriétés algébriques des unités de Stark

Coline Wiatrowski

Thèse sous la direction de : Xavier-François ROBLOT, Maître de Conférences, Université Lyon 1 Discipline : Mathématiques

La thèse - document
Dans une série de 4 articles publiés entre 1971 et 1980, Harold Stark énonça des conjectures relatives au comportement en s=0 des fonctions L d'Artin associées à des extensions galoisiennes de corps de nombres.
Dans son dernier article il s'intéressa plus particulièrement au cas des extensions abéLa thèse - documentnes, pour lequel il formula la conjecture abéLa thèse - documentne de rang 1 qui prédit l'existence de certaines unités. Ces unités représentent une généralisation des unités cyclotomiques, on les appelle les unités de Stark. Si leur existence est conjecturale, on peut néanmoins s'intéresser à la taille du sous-groupe qu'elles engendrent, c'est-à-dire à l'indice de ce groupe dans le groupe des unités. C'est ainsi que Karl Rubin établit en 1992 des formules reliant cet indice à la taille du groupe des classes du grand corps dans le cas totalement réel. En 2013 Xavier-François Roblot montra que pour des extensions quartiques et sextiques ces formules d'indices permettent de caractériser les unités de Stark à des valeurs absolues près. Dans cette thèse, on précise le La thèse - document entre les unités de Stark et le groupe des classes en comparant l'idéal de Fitting du groupe des unités quotienté par les unités de Stark et l'idéal de Fitting du groupe des classes.
Dans le cas dit semi-simple, on y établit l'égalité des les idéaux de Fitting à l'aide des formules d'indice déjà connues, ainsi qu'un isomorphisme reliant le quotient du groupe des unités par l'unité de Stark à ces idéaux de Fitting. Dans le cas non semi-simple, pour lequel les formules d'indice font défaut, on montre un résultat de simultanée principalité des idéaux de Fitting. Enfin, à l'aide de PARI/GP, on vérifie numériquement sur certaines extensions que ces idéaux de Fitting sont égaux même dans le cas non semi-simple.